Moyennes et variances des lois discrètes

Il s’agit ici du calcul des moyennes et variances théoriques notées m et s² d’une v.a. X.

1. Loi uniforme discrète sur {1,, .2, …, n}

Calcul de l’espérance m = E(X):

	n		n
E(X) =	S	pi xi = [	S	i ] / n = [ [n (n + 1 )] / 2 ] / n = ( n + 1 ) / 2
	i = 1		i = 1

m = E(X) = ( n + 1 ) / 2

Calcul de la variance s² = V(X)

On commence par calculer la moyenne des carrés :

	n		n
E(X^2) =	S	pi xi^2 = [	S	i^2 ] / n =  [n (n + 1 ) ( 2 n + 1 )] / 6 ] / n
	i = 1		i = 1

On connaît les formules donnant la somme des n premiers nombres entiers et la somme des n premiers carrés (cf. compléments). On en déduit :

E(X²) = ( n + 1 ) (2 n + 1 ) / 6

La variance est égale à s² = V( X) = E(X²) – [E(X)]². On en déduit :

s² = ( n + 1 ) (2 n + 1 ) / 6 – (n + 1)² / 4

s² = V(X) = (n² – 1) / 12

2. Loi de Poisson

La formule découle directement du développement en série de la loi exponentielle :

e^l = 1 + l + l²/2 ! + l³/3 ! + … + l^k/k ! + …

Calcul de l’espérance m = E(X):

	¥		¥			¥
E(X) =	S	pk xk =	S	[e^-^l l^k/k!] k	= l e^-^l	S	l^k-1/ (k-1)!
	k = 0		k = 0			k = 1
					= l e^-^l	e^l

m = E(X) = l

Calcul de la variance s² = V(X)

On commence comme précédemment par calculer la moyenne des carrés E(X²) :

	¥			¥
E(X^2) =	S	pk xk ^2	=	S	[e^-^l l^k/k!] k^2
	k = 0			k = 0

On sait que k² = k ( k – 1 ) + k . On en déduit :

		¥
E(X^2) =		S	pk [ k (k – 1) + k ]
		k = 0
		¥		¥
	= e^-^l	S	[l^k/ k!] k ( k – 1) +	S	e^-^l [l^k/ k!] k
		k = 1		k = 0

On met l² en facteur dans le premier terme de la somme du second membre, et on reconnaît l’espérance dans le second terme.  Il vient :

E(X^2) =

l^2 + l

On en déduit :

s² = V(X) = l